题目内容
【题目】已知函数.
()当
时,求曲线
在点
处的切线方程.
()如果函数
在
上单调递减,求
的取值范围.
()当
时,讨论函数
零点的个数.
【答案】()
.(
)
.(
)见解析.
【解析】试题分析: 求出当
时的
的解析式,求出导数,求得切线的斜率和切点,即可求得切线方程为
;
由
在
上单调递减,等价于
在
上恒成立,变形得到
恒成立,运用基本不等式求得右边的最小值,即可得到
的取值范围;
求出
,求得单调区间和最小值,讨论最小值的符号,对
讨论,当当
时,当
时,当
时,讨论函数的单调性,即可判断零点的个数
解析:()当
时,
,
,
∴,
,
∴在点
处的切线方程为:
,即
.
()函数
在
上单调递减,
等价于在
上恒成立,
即恒成立,
∵,当且仅当
,
即时,等号成立.
∴,即
的取值范围是
.
()
,
令,得
,
当时,
,
单调递减;
当时,
,
单调递增,
∴.
①当时,
,
在定义域内无零点;
②当时,
,则
在定义域内有唯一的零点;
③当时,
,
由,
所以在增区间
内有唯一零点;
,
设,则
,
∵,
∴,
∴在
上单调递增,
∴,即
,
∴在减区间
内有唯一的零点,
则时,
在定义域内有两个两点,
综上所述:当时,
在定义域内无零点;
当时,
在定义域内有唯一的两点;
当时,
在定义域内有两个零点.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】在流行病学调查中,潜伏期指自病原体侵入机体至最早临床症状出现之间的一段时间.某地区一研究团队从该地区500名A病毒患者中,按照年龄是否超过60岁进行分层抽样,抽取50人的相关数据,得到如下表格:
潜伏期(单位:天) | ||||||||
人 数 | 60岁及以上 | 2 | 5 | 8 | 7 | 5 | 2 | 1 |
60岁以下 | 0 | 2 | 2 | 4 | 9 | 2 | 1 |
(1)估计该地区500名患者中60岁以下的人数;
(2)以各组的区间中点值为代表,计算50名患者的平均潜伏期(精确到0.1);
(3)从样本潜伏超过10天的患者中随机抽取两人,求这两人中恰好一人潜伏期超过12天的概率.