Question

【题目】如图，在Rt△AOB中， ，斜边AB=4，D是AB中点，现将Rt△AOB以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上一点，且∠BOC=90°，
（1）求圆锥的侧面积；
（2）求直线CD与平面BOC所成的角的大小；（用反三角函数表示）

Answer 1

【答案】
（1）解：∵在Rt△AOB中， ，斜边AB=4，D是AB中点，

将Rt△AOB以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上一点，且∠BOC=90°，

∴圆锥的侧面积S侧=πrl=2×4×π=8π

（2）解：取OB的中点E，连结DE、CE，

则DE∥AO，∴DE⊥平面BOC，

∴∠DCE是直线CD与平面BOC所成的角，

在Rt△DEC中，CE= ，DE= ，

tan = ，

∴ ．

∴直线CD与平面BOC所成角的大小为arctan ．

【解析】（1）由圆锥的侧面积S侧=πrl，能求出结果．（2）取OB的中点E，连结DE、CE，则DE∥AO，∴DE⊥平面BOC，∠DCE是直线CD与平面BOC所成的角，由此能求出直线CD与平面BOC所成角的大小．
【考点精析】通过灵活运用空间角的异面直线所成的角，掌握已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则即可以解答此题．