题目内容
如图,AB是圆O的直径,点C是弧AB的中点,点V是圆O所在平面外一点,是AC的中点,已知
,
.
(1)求证:AC⊥平面VOD;
(2)求三棱锥的体积.
(1)证明见解析;(2).
解析试题分析:(1)证明线面垂直,要证明直线与平面内的两条相交直线垂直,首先是圆
的直径,因此有
,而
分别是
的中点,因此有
,从而
,再看已知条件
,则点
在平面
内的射影为
的外心,即点
,即
平面
,从而有
,因此有
平面
;(2)棱锥
的体积,就是
的体积,而棱锥
的高就是
,底面是
,又
是弧
的中点,因此有
,从而有
,
,底面积、体积均可求.
(1)∵VA=VB,O为AB中点,∴.
连接,在
和
中,
,
∴≌DVOC ,∴
=ÐVOC=90°, ∴
∵,
平面ABC,
平面ABC, ∴VO⊥平面ABC.
∵平面ABC,∴
.
又∵,
是
的中点,∴
.
∵VOÌ平面VOD,VDÌ平面VOD,,∴ AC
平面DOV.
(2)由(2)知是棱锥
的高,且
.
又∵点C是弧的中点,∴,且
,
∴三角形的面积
,
∴棱锥的体积为
故棱锥的体积为
. 12分
考点:线面垂直,棱锥的体积.

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