题目内容

如图:已知长方体的底面是边长为的正方形,高的中点,交于点.
(1)求证:平面
(2)求证:∥平面
(3)求三棱锥的体积.

(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3).

解析试题分析:(1)要证平面,就要在平面内找两条与垂直的相交直线,由于是正方形,因此有,而在长方体中,侧棱与底面垂直,从而一定有,两条直线找到了;(2)要证平面,就应该在平面内找一条直线与平行,观察图形发现平面与平面相交于直线的交点),那么就是我们要找的平行线,这个根据中位线定理可得;(3)求三梭锥的体积,一般是求出其底的面积和高(顶点到底面的距离),利用体积公式得到结论,本题中点到底面的距离,即过到底面垂直的直线比较难以找到,考虑到三棱锥的每个面都是三角形,因此我们可以换底,即以其他面为底面,目的是高易求,由于长方体的底面是正方形,其中垂直关系较多,可证平面,即平面,因此以为底,就是高,体积可得.
试题解析:(1)底面是边长为正方形,
底面平面        3分
平面    5分
(2)连结的中点,的中点
,        7分
平面平面
∥平面        10分
(3)

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