题目内容
已知椭圆经过点.
(1)求椭圆的方程及其离心率;
(2)过椭圆右焦点的直线(不经过点)与椭圆交于两点,当的平分线为 时,求直线的斜率.
(1)求椭圆的方程及其离心率;
(2)过椭圆右焦点的直线(不经过点)与椭圆交于两点,当的平分线为 时,求直线的斜率.
(1),;(2).
试题分析:本题主要考查椭圆的标准方程以及几何性质、直线与椭圆相交问题等基础知识,考查学生的数形结合思想、转化能力、计算能力.第一问,椭圆过点P,说明点P在椭圆上,符合解析式,即可求出,从而得到椭圆的标准方程,通过椭圆的标准方程得到,,,从而得到离心率;第二问,由第一问得到椭圆右焦点F的坐标,由P、F点坐标可知轴,由题意得,令直线AB的方程与椭圆方程联立,得到A、B坐标,结合P点坐标,得出和代入到中,解出直线AB的斜率k的值.
(1)把点代入,可得.
故椭圆的方程为,椭圆的离心率为. ……4分
(2)由(1)知:.
当的平分线为时,由和知:轴.
记的斜率分别为.所以,的斜率满足……6分
设直线方程为,代入椭圆方程并整理可得,
.
设,则
又,则,
.……………………8分
所以=
…………11分
即. . ……………13分
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