题目内容
【题目】设四边形为矩形,点
为平面
外一点,且
平面
,若
,
.
(1)求与平面
所成角的大小;
(2)在边上是否存在一点
,使得点
到平面
的距离为
,若存在,求出
的值,若不存在,请说明理由;
(3)若点是
的中点,在
内确定一点
,使
的值最小,并求此时
的值.
【答案】(1);(2)存在,
;(3)
、
、
三点共线,
【解析】
(1)由题意可得:,
,所以
平面
,可得
与平面
所成角既为
,再利用解三角形的有关知识即可求出答案.
(2)假设边上存在一点G满足题设条件,作
,则
平面
,可得
,进而得到
,然后根据题意可得此点G符合题意.
(3)作出点C关于面PAB的对称点,连接
交面PAB的点H,点H就是所求的点,再运用平面几何知识可求得HB的长.
(1)因为平面
,
平面
,所以
,又因为底面
是矩形,所以
,
所以由线面垂直的判定定理可得:平面
,所以
与平面
所成角既为
,
又由题意可得:,
,所以
.
所以与平面
所成角的大小为
.
(2)假设边上存在一点G满足题设条件,作
,
则平面
,
所以.
,
故存在点G,当时,使点D到平面
的距离为
.
(3)延长CB到,使
,因为
平面
,
平面
,所以
,
又因为底面是矩形,
所以,
所以由线面垂直的判定定理可得:平面
,
则是点C关于面
的对称点,
连接,交面
于H,
则点H是使的值最小时,在面
上的一点.
作于M,则点M是AD的中点,连接
交AB于N,连接HN,
则,
所以,
又,
所以,而
,
所以.
所以.
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