题目内容
【题目】已知恒等式(1+x+x2)n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n .
(1)求a1+a2+a3+…+a2n和a2+2a3+22a4+…+22n﹣2a2n的值;
(2)当n≥6时,求证: a2+2A
a3+…+22n﹣2
a2n<49n﹣2 .
【答案】
(1)解:令x=0,则a0=1.
令x=1,则a0+a1+a2+…+a2n=3n,∴a1+a2+…+a2n=3n﹣1.
∵(1+x+x2)n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n.
∴两边对x求导可得:n(1+x+x2)n﹣1=a1+2a2x+…+2na2nx2n﹣1.
令x=0,则n=a1,
由(1+x+x2)n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n.
令x=2,则 ×7n=
+
+a2+2a3+…+22n﹣2a2n.
∴a2+2a3+…+22n﹣2a2n= ﹣
﹣
(2)证明:∵(1+x+x2)n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n.
∴两边对x求导可得:n(1+x+x2)n﹣1(1+2x)=a1+2a2x+…+2na2nx2n﹣1,
再一次求导可得:n[(n﹣1)(1+2x)2+2](1+x+x2)n﹣2=2a2+3×2a3x+…+2n(2n﹣1)a2nx2n﹣2,
=k(k﹣1),
令x=2可得: a2+2A
a3+…+22n﹣2
a2n=n[25(n﹣1)+2]×7n﹣2,
n≥6时,n[25(n﹣1)+2]<7n﹣2,
∴ a2+2A
a3+…+22n﹣2
a2n=n[25(n﹣1)+2]×7n﹣2<49n﹣2.
【解析】(1)令x=0,则a0=1.令x=1,a0+a1+a2+…+a2n=3n , 可得a1+a2+…+a2n . 由(1+x+x2)n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n . 两边对x求导可得:n(1+x+x2)n﹣1=a1+2a2x+…+2na2nx2n﹣1 . 令x=0,可得n=a1 , 由(1+x+x2)n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n . 令x=2,可得 ×7n=
+
+a2+2a3+…+22n﹣2a2n . 即可得出.(2)(1+x+x2)n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n . 由(1)可得:n(1+x+x2)n﹣1(1+2x)=a1+2a2x+…+2na2nx2n﹣1 , 两边对x求导可得:n[(n﹣1)(1+2x)2+2](1+x+x2)n﹣2=2a2+3×2a3x+…+2n(2n﹣1)a2nx2n﹣2 , 令x=2可得:
a2+2A
a3+…+22n﹣2
a2n=n[25(n﹣1)+2]×7n﹣2 , n≥6时,n[25(n﹣1)+2]<7n﹣2 , 即可证明.
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