Question

【题目】在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a、b、c，已知向量 =（cosA，cosB）， =（a，2c﹣b），且 ∥ ．
（1）求角A的大小；
（2）若a=4，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵向量 =（cosA，cos B）， =（a，2c﹣b），且 ∥ ，

∴acosB﹣（2c﹣b）cosA=0，

利用正弦定理化简得：sinAcosB﹣（2sinC﹣sinB）cosA=0，

∴sinAcosB+cosAsinB﹣2sinCcosA=0，即sin（A+B）=sinC=2sinCcosA，

∵sinC≠0，∴cosA= ，

又0＜A＜π，则A= ；

（2）解：由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，得：16=b2+c2﹣bc≥bc，即bc≤16，

当且仅当b=c=4时，上式取等号，

∴S△ABC= bcsinA≤4 ，

则△ABC面积的最大值为4 ．

【解析】（1）由两向量的坐标及两向量平行，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，再利用正弦定理化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化简，根据sinC不为0，求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；（2）由a与cosA的值，利用余弦定理列出关系式，整理后利用基本不等式求出bc的最大值，再由bc的最大值与sinA的值即可得到三角形ABC面积的最大值．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用余弦定理的定义的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握余弦定理:;;．