Question

5．已知数列{a_n}的前n项和为s_n，且满足a₁=1，a_n+1=3S_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}满足：b_n=log₄a_n，求数列{b_n}的前n项的和T_n．

Answer 1

分析 （1）通过a_n+1=3S_n，利用a_n+1=S_n+1-S_n计算即得结论；
（2）通过（1）可知数列{b_n}的通项公式，进而利用分组法求和计算即得结论．

解答 解：（1）∵a_n+1=3S_n，
∴a_n+2-a_n+1=3（S_n+1-S_n）=3a_n+1，
整理得：a_n+2=4a_n+1，
又∵a₁=1，
∴a₂=3S₁=3不满足上式，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，}&{n=1}\\{3×{4}^{n-2}，}&{n≥2}\end{array}\right.$；
（2）由（1）可知b_n=log₄a_n=$\left\{\begin{array}{l}{0，}&{n=1}\\{n-2+lo{g}_{4}3，}&{n≥2}\end{array}\right.$，
∴当n≥2时，T_n=$\frac{（n-2）（n-2+1）}{2}$+（n-1）log₄3=$\frac{（n-2）（n-1）}{2}$+（n-1）log₄3，
又∵T₁=0满足上式，
∴T_n=$\frac{（n-2）（n-1）}{2}$+（n-1）log₄3．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．