Question

已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量m＝(a，b)，n＝(sin B，sin A)，p＝(b－2，a－2)．

(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；

(2)若m⊥p，边长c＝2，C＝，求△ABC的面积．

 

Answer 1

（1）见解析（2）

【解析】(1)因为m∥n，所以asin A＝bsin B，

即a·＝b· (其中R是△ABC外接圆的半径)，所以a＝b.所以△ABC为等腰三角形．

(2)由题意，可知m·p＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0，所以a＋b＝ab，由余弦定理，知4＝c2＝a2＋b2－2abcos＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0，所以ab＝4或ab＝－1(舍去)．

所以S△ABC＝absin C＝×4×sin ＝.