题目内容
【题目】已知抛物线的顶点为原点,其焦点
到直线
的距离为
.设
为直线
上的点,过点
作抛物线
的两条切线
,其中
为切点.
(1) 求抛物线的方程;
(2) 当点为直线
上的定点时,求直线
的方程;
(3) 当点在直线
上移动时,求
的最小值.
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)
(Ⅲ)
【解析】试题分析:(1)设拋物线的方程为
,利用点到直线的距离,求出
,得到抛物线方程;(2)对抛物线方程求导,求出切线
的斜率,用点斜式写出切线方程,化成一般式,找出共同点,得到直线
的方程;(3)由拋物线定义可知
,联立直线与抛物线方程,消去
,得到一个关于
的一元二次方程,由韦达定理求得
的值,还有
,将
表示成
的二次函数的形式,再求出最值.
试题解析: 解:(1)依题意,设拋物线的方程为
,由
结合
,
解得,所以拋物线
的方程为
.
(2)拋物线的方程为
,即
,求导得
,
设 (其中
)则切线
的斜率分别为
,
所以切线的方程为
,即
,即
,
同理可得切线的方程为
,
因为切线均过点
,所以
,
,
所以为方程
的两组解,
所以直线的方程为
.
(3)由拋物线定义可知,
联立方程,消去
整理得
.
由一元二次方程根与系数的关系可得,
所以
又点在直线
上,所以
,
所以,
所以当时,
取得最小值,且取得最小值为
.
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练习册系列答案
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(1)由频率分布直方图,估计这人年龄的平均数;
(2)根据以上统计数据填写下面的列联表,据此表,能否在犯错误的概率不超过
的前提下,认为以
岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的态度存在差异?
45岁以下 | 45岁以上 | 总计 | |
不支持 | |||
支持 | |||
总计 |
附:
参考数据: