题目内容

【题目】如图,在四棱锥中,底面,底面是直角梯形,,点上,且

1)点上,,求证:平面

2)若直线与平面所成的角为,求二面角的余弦值.

【答案】1)详见解析;(2

【解析】

1)先证明四边形为平行四边形,得,则,又可得,即可证明平面

2)根据线面角定义找出与平面所成角,得的长度,然后建立空间直角坐标系,分别求出平面与平面的法向量,再利用向量法求出二面角的余弦值.

1)∵,∴

∵底面是直角梯形,

,即,则

,∴

∴四边形是平行四边形,则,∴

底面,∴

,∴平面

2)∵,∴平面,则为直线与平面所成的角,

,即

的中点为,连接,则,以点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系

设平面的法向量,则

,令,则,∴

是平面的一个法向量,∴

即平面与平面所成锐二面角的余弦值为

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