Question

16．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示，则f（1）+f（2）+…+f（2015）的值为（　　）

• A． -1
• B． $\frac{7\sqrt{2}}{2}$
• C． 671
• D． 2015

Answer 1

分析 由函数的图象的顶点坐标求出A，由特殊点的坐标求出φ，由五点法作图求出ω的值，可得函数的解析式，再利用函数的周期性求得所给式子值．

解答 解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$）的部分图象，可得A=2，
再把（0，1）代入，可得2sinφ=1，求得sinφ=$\frac{1}{2}$，结合-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$，求得φ=$\frac{π}{6}$．
再根据五点法作图可得 2ω+$\frac{π}{6}$=$\frac{3π}{2}$，求得ω=$\frac{2π}{3}$，∴函数的周期为 $\frac{2π}{ω}$=3，f（x）=2sin（$\frac{2π}{3}$x+$\frac{π}{6}$）．
f（1）+f（2）+f（3）=1+（-2）+1=0，∴f（1）+f（2）+…+f（2015）=671×[f（1）+f（2）+f（3）]+f（1）+f（2）
=0+f（1）+f（2）=1-2=-1，
故选：A．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由特殊点的坐标求出φ，由五点法作图求出ω的值，函数的周期性的应用，属于中档题．