Question

6．设a为实数，已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-ax²+（a²-1）x．
（1）当a=1时，求函数f（x）的极值；
（2）若方程f（x）=0有三个不等实数根，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求得a=1的导数，求得单调区间，即可得到极值；
（2）求得导数，求得单调区间，可得极值，由题意可得极大值大于0，极小值小于0，解不等式即可得到a的范围．

解答 解：（1）函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²的导数为f′（x）=x²-2x，
当x＞2或x＜0时，f′（x）＞0，f（x）递增；
当0＜x＜2时，f′（x）＜0，f（x）递减．
即有x=0处取得极大值，且为0；
x=2处取得极小值，且为-$\frac{4}{3}$；
（2）函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-ax²+（a²-1）x的导数为
f′（x）=x²-2ax+a²-1=（x-a+1）（x-a-1），
当x＞a+1或x＜a-1时，f′（x）＞0，f（x）递增；
当a-1＜x＜a+1时，f′（x）＜0，f（x）递减．
即有x=a-1处取得极大值，且为$\frac{1}{3}$（a-1）²（a+2）；
x=a+1处取得极小值，且为$\frac{1}{3}$（a+1）²（a-2）．
方程f（x）=0有三个不等实数根，
即有$\frac{1}{3}$（a-1）²（a+2）＞0，且$\frac{1}{3}$（a+1）²（a-2）＜0，
解得-2＜a＜2，且a≠1，a≠-1．
则实数a的取值范围是（-2，-1）∪（-1，1）∪（1，2）．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值，考查函数的零点的求法，考查运算能力，属于中档题．