Question

14．正四面体内镶在一个表面积为36π的球内，求这个四面体的表面积和体积．

Answer 1

分析 画出几何图形，求出球的半径，可得正方体的棱长为2$\sqrt{3}$，正方体的体积为24$\sqrt{3}$，即可求得正四面体的表面积和体积．

解答 解：正四面体内接于球，则相应的一个正方体内接于球
设正方体为ABCD-A₁B₁C₁D₁，则正四面体为ACB₁D₁
设球半径为R，则4πR²=36π，∴R=3
∴AC₁=6，∴正方体的棱长为2$\sqrt{3}$，正方体的体积为24$\sqrt{3}$，
∴此正四面体体积为24$\sqrt{3}$-4×$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×2$\sqrt{3}$×2$\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$，
正四面体的棱长为2$\sqrt{6}$，四面体的表面积为4×$\frac{\sqrt{3}}{4}×（2\sqrt{6}）^{2}$=24$\sqrt{3}$．

点评 本题考查正四面体与正方体的关系，在几何解题中，往往相互联系，本题中采用转化思想，把正四面体的棱长与正方体的棱长，外接球的直径相结合是关键．