Question

【题目】已知点，椭圆的离心率为是椭圆的焦点，直线的斜率为为坐标原点.

（1）求椭圆的方程；

（2）设过点的直线与椭圆相交于两点，当的面积最大时，求直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：（1）设出F，由直线AF的斜率为，求得c，结合离心率求得a，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（2）当l⊥x轴时，不合题意；当直线l斜率存在时，设直线l：y=kx-2，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于0求得k的范围，再由弦长公式求得|PQ|，由点到直线的距离公式求得O到l的距离，代入三角形面积公式，化简后换元，利用基本不等式求得最值，进一步求出k值，则直线方程可求．

试题解析：

(1)设，解得，又， 椭圆.

(2)当轴时，不合题意；当直线斜率存在时，设直线，联立，得，由，得，即或， ，从而 ，又点到直线 的距离的面积，设，则，

，当且仅当，即时，等号成立，且，此时.