题目内容

【题目】已知椭圆的离心率为,右焦点为,直线l经过点F,且与椭圆交于AB两点,O为坐标原点.

1)求椭圆的标准方程;

2)当直线l绕点F转动时,试问:在x轴上是否存在定点M,使得为常数?若存在,求出定点M的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)(2)存在定点满足题意

【解析】

1)由题意得,再根据右焦点为,求出的值,就可得到的值,再根据的关系,解出值,则椭圆方程可知;(2)当直线斜率存在时,设出直线的方程,与椭圆方程联立,消去,得到关于的一元二次方程,求出,设出M点坐标,以及,要使其为常数,只需要,化简,可求出的值,当直线垂直于轴时,同样求出的值,两者一致,所以在轴上存在定点M,使得为常数.

1)由题意可知,,又,解得

所以,所以椭圆的方程为

2)若直线不l垂直于x轴,可设的方程为

,则

,则

要使得为常数),只要

对于任意实数k,要使式恒成立,

只要,解得

若直线l垂直于x轴,其方程为

此时,直线l与椭圆两交点为

取点,有

综上所述,过定点的动直线l与椭圆相交于AB两点,当直线l绕点F转动时,存在定点,使得

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