(2006•嘉定区二模)用Sm→n表示数列{an}从第m项到第n项之和．(1)在递增数列{an}中.an与an+1是关于x的方程x2-4nx+4n2-1=0的两个根．求{an}的通项公式并证明{an}是等差数列,中的数列{an}.判断数列S1→3.S4→6.S7→9.-.S3k-2→3k的类型,中的数列作进一步研究.提出与(2)类似� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

（2006•嘉定区二模）用S_m→n表示数列{a_n}从第m项到第n项（共n-m+1项）之和．
（1）在递增数列{a_n}中，a_n与a_n+1是关于x的方程x²-4nx+4n²-1=0（n为正整数）的两个根．求{a_n}的通项公式并证明{a_n}是等差数列；
（2）对（1）中的数列{a_n}，判断数列S_1→3，S_4→6，S_7→9，…，S_3k-2→3k的类型；
（3）对（1）中的数列作进一步研究，提出与（2）类似的问题，你可以得到怎样的结论，证明你的结论．

分析：（1）解方程x²-4nx+4n²-1=0，结合{a_n}是递增数列，可求出a_n与a_n+1．进而根据等差数列的定义，判断出{a_n}是等差数列，进而得到数列的通项公式
（2）根据等差数列的前n项和公式，化简S_3k-2→3k，进而根据等差数列的定义，判断出数列{S_3k-2→3k}为等差数列
（3）根据（2）中结论，可得S_1→m，S_m+1→2m，…，S_{（k-1）m+1→km}的类型均为等差数列

解答：解：（1）解方程x²-4nx+4n²-1=0得x₁=2n-1，x₂=2n+1…（1分）
∵{a_n}是递增数列，
∴a_n=2n-1，a_n+1=2n+1，
a_n+1-a_n=2…（3分）
∴数列{a_n}是等差数列，
其通项公式是a_n=2n-1（n为正整数）…（4分）
（2）当k为正整数时，S_3k-2→3k=a_3k-2+a_3k-1+a_3k=18k-9S_{3（k+1）-2→3（k+1）}=18（k+1）-9=18k+9，
∴S_{3（k+1）-2→3（k+1）}-S_3k-2→3k=18（常数）
∴数列S_1→3，S_4→6，S_7→9，…，S_3k-2→3k是等差数列…（9分）
（3）S_1→4，S_5→8，…，S_4k-3→4k也是等差数列，理由如下：
S_4k-3→4k=a_4k-3+a_4k-2+a_4k-1+a_4k=32k-16S_{4（k+1）-3→4（k+1）}=32（k+1）-16=32k+16，
∴S_{4（k+1）-3→4（k+1）}-S_4k-3→4k=32（常数）
∴数列S_1→4，S_5→8，…，S_4k-3→4k是等差数列

点评：本题考查的知识点是等差数列的判断与性质，熟练掌握等差数列的证明方法是解答的关键．