题目内容

(2013•金山区一模)设椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,上顶点为A,左、右焦点分别为F1、F2,线段OF1、OF2的中点分别为B1、B2,且△AB1B2是面积为4的直角三角形.过B1作直线l交椭圆于P、Q两点.
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)若PB2⊥QB2,求直线l的方程;
(3)设直线l与圆O:x2+y2=8相交于M、N两点,令|MN|的长度为t,若t∈[4,2
7
],求△B2PQ的面积S的取值范围.
分析:(1)设所求椭圆的标准方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,右焦点为F2(c,0).已知△AB1B2是直角三角形,又|AB1|=|AB2|,故∠B1AB2=90°,可得c=2b,在Rt△AB1B2中,S△AB1B2=b2=4,从而a2=b2+c2=20.即可得到椭圆的方程.
(2)由(1)得B1(-2,0),可设直线l的方程为x=my-2,代入椭圆的方程,得到根与系数的关系,利用PB2⊥QB2,?
B2P
B2Q
=0
,即可得到m.
(3)当斜率不存在时,直线l:x=-2,此时|MN|=4,S=
16
5
5
,当斜率存在时,设直线l:y=k(x+2),利用点到直线的距离公式可得圆心O到直线l的距离d=
|2k|
k2+1
,可得t=|MN|=2
R2-d2
≤2
7
,得k的取值范围;把直线l的方程代入椭圆的方程点到根与系数的关系,代入S=
1
2
×
|B1B2|×|y1-y2|,再通过换元,利用二次函数的单调性即可得出S的取值范围.
解答:解:(1)设所求椭圆的标准方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,右焦点为F2(c,0).
因△AB1B2是直角三角形,又|AB1|=|AB2|,故∠B1AB2=90°,得c=2b,
在Rt△AB1B2中,S△AB1B2=b2=4,从而a2=b2+c2=20.
因此所求椭圆的标准方程为:
x2
20
+
y2
4
=1

(2)由(1)得B1(-2,0),可设直线l的方程为x=my-2,代入椭圆的方程
x2
20
+
y2
4
=1
.化为(5+m2)y2-4my-16=0.
设P(x1,y1)、Q(x2,y2),则y1+y2=
4m
m2+5
y1y2=-
16
m2+5

B2P
=(x1-2,y1),
B2Q
=(x2-2,y2)
,B2P⊥B2Q,
所以
B2P
B2Q
=(x1-2)(x2-2)+y1y2
=(m2+1)y1y2-4m(y1+y2)+16=
-16(m2+1)
m2+5
-
16m2
m2+5
+16
=
-16m2+64
m2+5
=0,
∴m2=4,解得m=±2;
所以满足条件的直线有两条,其方程分别为:x+2y+2=0和x-2y+2=0.
(3)当斜率不存在时,直线l:x=-2,此时|MN|=4,S=
16
5
5

当斜率存在时,设直线l:y=k(x+2),则圆心O到直线l的距离d=
|2k|
k2+1

因此t=|MN|=2
8-
4k2
k2+1
≤2
7
,得k2
1
3

联立方程组:
y=k(x+2)
x2
20
+
y2
4
=1
得(1+5k2)y2-4ky-16k2=0,
由韦达定理知,y1+y2=
4k
1+5k2
y1y2=-
16k2
1+5k2

所以|y1-y2|=4
5
4k4+k2
(1+5k2)2

因此S=
1
2
•4•|y1-y2|=8
5
4k4+k2
(1+5k2)2

u=1+5k2,u≥
8
3
,所以S=
8
5
5
-(
1
u
+
3
2
)
2
+
25
4
,所以S∈[
35
16
5
5
)

综上所述:△B2PQ的面积S∈[
35
16
5
5
]
点评:本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式、三角形的面积计算公式、点到直线的距离公式、二次函数的单调性等基础知识与基本技能,考查了推理能力、计算能力.
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