题目内容
【题目】直线
与曲线
相切也与曲线
相切，则称直线为曲线和曲线的公切线，已知函数
，其中
，若曲线和曲线的公切线有两条，则
的取值范围为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
设切点求出两个函数的切线方程，根据这个两个方程表示同一直线，可得方程组，化简方程组，可以得到变量
关于其中一个切点横坐标的函数形式，求导，求出函数的单调性，结合该函数的正负性，画出图象图形，最后利用数形结合求出的取值范围.
设曲线
的切点为：
，
，所以过该切点的切线斜率为
，因此过该切点的切线方程为：
；
设曲线
的切点为：
，
，所以过该切点的切线斜率为
，因此过该切点的切线方程为：
，则两曲线的公切线应该满足：
，
构造函数
,
当
时，
单调递减，当
时，
单调递增，所以函数有最大值为：
，当
时，
，当
，
，函数的图象大致如下图所示：
要想有若曲线
和曲线的公切线有两条，则的取值范围为
.
故选：C
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．
附：
| 0．100 | 0．050 | 0．010 | 0．001 |
| 2．703 | 3．841 | 6．635 | 10．828 |
