Question

3．数列{a_n}的首项为a（a≠0），前n项和为S_n，且S_n+1=t•S_n+a（t≠0）．设b_n=S_n+1，
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）当t=1时，若对任意n∈N⁺，|b_n|≥|b₃|恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出；
（2）当t=1时，a_n=a，S_n=na，b_n=na+1，由对任意n∈N⁺，|b_n|≥|b₃|恒成立，得|na+1|≥|3a+1|，两边平方化为（n-3）a[（n+3）a+2]≥0，对a分类讨论即可得出．

解答 解：（1）∵S_n+1=t•S_n+a（t≠0）． ①
当n≥2时，S_n=tS_n-1+a ②，
①-②得，a_n+1=ta_n，
又由S₂=tS₁+a，得a₂=ta₁，
∴数列{a_n}是首项为a，公比为t的等比数列，
∴a_n=a•t^n-1（n∈N^*）．
（2）当t=1时，a_n=a，S_n=na，b_n=na+1，
由对任意n∈N⁺，|b_n|≥|b₃|恒成立，
得|na+1|≥|3a+1|，
化为（n-3）a[（n+3）a+2]≥0 （*）
当a＞0时，n＜3时，（*）不成立；
当a＜0时，（*）等价于（n-3）[（n+3）a+2]≤0 （**）
n=3时，（**）成立．
n≥4时，有（n+3）a+2≤0，即a≤n$-\frac{2}{n+3}$恒成立，∴$a≤-\frac{2}{7}$．
n=1时，有4a+2≥0，$a≥-\frac{1}{2}$．n=2时，有5a+2≥0，$a≥-\frac{2}{5}$．
综上，a的取值范围是$[-\frac{2}{5}，-\frac{2}{7}]$．

点评 本题考查了递推关系的应用、含绝对值数列问题、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．