题目内容

18．已知f（x）是定义在R上奇函数，又f（2）=0，若x＞0时，xf′（x）+f（x）＞0，则不等式xf（x）＜0的解集是（-2，0）U（0，2）．

分析 由题意可得F（x）=xf（x）为R上偶函数，且在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减，不等式xf（x）＜0等价于F（x）＜F（2），结合函数的性质可得．

解答 解：∵f（x）是定义在R上奇函数，
∴F（x）=xf（x）为R上偶函数，
又f（2）=0，∴F（2）=0，
∵x＞0时，xf′（x）+f（x）＞0，
∴x＞0时，F′（x）=xf′（x）+f（x）＞0，
∴函数F（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减，
不等式xf（x）＜0等价于F（x）＜0，即F（x）＜F（2），
由单调性可得2＜x＜2，
又F（0）=0，不满足F（x）＜F（2），
故所求解集为（-2，0）U（0，2）
故答案为：（-2，0）U（0，2）

点评 本题考查导数的运算，涉及构造函数以及利用函数的单调性和奇偶性求解不等式，属中档题．

练习册系列答案
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20．计算：
（1）sin420°•cos750°+sin（-330°）•cos（-660°）；
（2）tan675°+tan765°-tan（-330°）+tan（-690°）；
（3）sin$\frac{25π}{6}$+cos$\frac{25π}{3}$+tan（-$\frac{25π}{4}$）．
9．在如图的知识结构图中：“求简单函数的导数”的“上位”要素有（　　）
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．若（2x+$\frac{1}{x}$）n展开式中含$\frac{1}{{x}^{2}}$项的系数与含$\frac{1}{{x}^{4}}$项的系数之比为5，则n=（　　）
A．4B．5C．6D．10
13．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$sin（ωx+$\frac{π}{6}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}cos（ωx+\frac{π}{6}）$（0＜ω＜3）的图象过点A（$\frac{π}{4}$，0）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）记g（x）=f（x）+sin2x，若α∈（0，π），且g（$\frac{α}{2}$）=0，求α的值．
3．如图，已知AB是⊙O的直径，C为圆上一点，连接CB、AC，点D是半圆弧AB的中点，若圆的半径为4，DC交AB于M点，则DM•DC的范围是32．
10．等边三角形ABC的边长是a，AD是BC边上的高，沿AD将△ABC折成直二面角，则点B、C的距离是（　　）
A．$\frac{1}{2}$aB．$\frac{\sqrt{2}}{2}$aC．$\frac{\sqrt{3}}{2}$aD．a
7．若函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{sinx，-\frac{π}{2}≤x≤0}\\{a（x-1）+1，x＞0}\end{array}\right.$在（-$\frac{π}{2}$，+∞）上单调递增，实数a的取值范围（　　）
A．（0，1]B．（0，1）C．[1，+∞）D．（0，+∞）
8．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且Sn是${a_n}^2$和an的等差中项．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若${a_{k_n}}∈\{{a_1}，{a_2}，…{a_n}，…\}$，且${a_{k_1}}，{a_{k_2}}，…，{a_{k_n}}，…$成等比数列，当k1=2，k2=4时，求数列{kn}的前n项和Tn．

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