Question

【题目】已知数列满足，且，其前n项之和为Sn，则满足不等式的最小自然数n是 ___.

Answer 1

【答案】7

【解析】试题分析：首先根据题意，将3an+1+an=4变形为3（an+1﹣1）=﹣（an﹣1），可得{an﹣1}是等比数列，结合题意，可得其前n项和公式，进而可得|Sn﹣n﹣6|=6×（﹣）n；依题意，有|Sn﹣n﹣6|＜，解可得答案．

详解：

根据题意，3an+1+an=4，化简可得3（an+1﹣1）=﹣（an﹣1）；

则{an﹣1}是首项为an﹣1=8，公比为﹣的等比数列，

进而可得Sn﹣n=（a1﹣1）+（a2﹣1）+…+（an﹣1）=

=6[1﹣（﹣）n]，

即|Sn﹣n﹣6|=6×（﹣）n；

依题意，|Sn﹣n﹣6|＜，

即（﹣）n＜，且n∈N*，

分析可得满足不等式|Sn﹣n﹣6|＜的最小正整数n是7．

故答案为：7.