Question

12．（1）解关于x的不等式：$\frac{x+2}{k}＞1+\frac{x-3}{{k}^{2}}$（k≠0）；
（2）如果上述不等式的解集为（3，+∞），求k的值．
（3）如果x=3在解集中，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）原不等式可化为（k-1）x＞k²-2k-3，分类讨论可得当k=1时解集为R，当k＜1且k≠0时解集为{x|x＜$\frac{{k}^{2}-2k-3}{k-1}$}，当k＞1时解集为{x|x＞$\frac{{k}^{2}-2k-3}{k-1}$}；
（2）由（1）可得k＞1且$\frac{{k}^{2}-2k-3}{k-1}$=3，解关于k的方程可得；
（3）可得$\frac{3+2}{k}$＞1+$\frac{3-3}{{k}^{2}}$成立，解关于k的不等式可得．

解答 解：（1）不等式$\frac{x+2}{k}＞1+\frac{x-3}{{k}^{2}}$可化为k（x+2）＞k²+（x-3），
整理可得（k-1）x＞k²-2k-3，
当k=1时，不等式的解集为R，
当k＜1且k≠0时，不等式的解集为{x|x＜$\frac{{k}^{2}-2k-3}{k-1}$}，
当k＞1时，不等式的解集为{x|x＞$\frac{{k}^{2}-2k-3}{k-1}$}；
（2）如果上述不等式的解集为（3，+∞），
则k＞1且$\frac{{k}^{2}-2k-3}{k-1}$=3，解得k=5；
（3）如果x=3在解集中，则$\frac{3+2}{k}$＞1+$\frac{3-3}{{k}^{2}}$成立，
即$\frac{5}{k}$＞1，移项通分可得$\frac{k-5}{k}$＜0，
解得0＜k＜5，∴实数k的取值范围为（0，5）

点评 本题考查不等式的解集和方程的解得关系，涉及分类讨论的思想，属中档题．