题目内容
【题目】设双曲线C：
－y2＝1(a>0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点A，B．
(1)求双曲线C的离心率e的取值范围；
(2)设直线l与y轴的交点为P，且
，求a的值．
【答案】（1）e>
且e≠
；（2）a＝
.
【解析】
（1）由直线与双曲线联立得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0，结合条件得
，从而可得离心率范围；
（2）设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由
可得x1＝
x2，由根与系数的关系可得－
＝
，从而得解.
(1)将y＝－x＋1代入双曲线
－y2＝1中，得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0.①
∴解得0<a<且a≠1.
又双曲线的离心率e＝
，∴e>且e≠.
(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)．有P(0,1)．
∵，∴(x1，y1－1)＝ (x2，y2－1)．
由此得x1＝x2.由于x1，x2都是方程①的根，且1－a2≠0，因此由根与系数的关系，得
x2＝－， 
＝－.
消去x2，得－＝.由a>0，得a＝.
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