题目内容
【题目】在四棱锥
中，平面
平面
，
，
，
，
，
，
.
（1）求证：
平面
；
（2）求二面角
的正弦值；
（3）在棱
上是否存在点
，使得
平面
？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见证明；（2）
（3）见解析
【解析】
（1）由面面垂直的性质得
面
，即可证明
面
（2）取
中点为
，连结
，
，证明
， 以为原点，如图建系易知
，
，
，
，求面
及面
的法向量，利用二面角的向量公式求解即可（3）假设存在
点使得
∥面
， 设
，由∥面，
为的法向量，得
，
（1）∵面
面
，面
面
，
∵
，
面，∴面，
∵
面， ∴
，
又
，∴面，
（2）取中点为，连结，，
∵
， ∴
，
∵
， ∴，
以为原点，如图建系易知，，，，
则
，
，
，
，
设为面的法向量，令
．
，
设
为面的法向量，令
．
，
则二面角
余弦值为
故二面角正弦值为
（3）假设存在点使得∥面， 设，
，
由（2）知
，，
，
，
有
∴
∵∥面，为的法向量，
∴，即
，得
综上，存在点，即当
时，点即为所求．
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