题目内容
【题目】如图,在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点E在棱AB上移动.
(1)证明:D1E⊥A1D;
(2)若EB,求二面角D1﹣EC﹣D的大小.
【答案】(1)见解析(2)30°.
【解析】
(1)以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
设AE=t,(0≤t≤2),证明0即得证;(2)利用向量法求二面角D1﹣EC﹣D的大小.
证明:(1)以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
设AE=t,(0≤t≤2),则D1(0,0,1),E(1,t,0),A1(1,0,1),D(0,0,0),
(1,t,﹣1),(﹣1,0,﹣1),
所以0,
∴D1E⊥A1D.
(2)∵EB,∴E(1,2,0),C(0,2,0),
(1,,0),(0,﹣2,1),
设平面CED1的法向量(x,y,z),
则,取y=3,得(,6),
平面CDE的法向量(0,0,1),
设二面角D1﹣EC﹣D的平面角为θ,
则cosθ,所以θ=30°,
∴二面角D1﹣EC﹣D的大小为30°.