题目内容

5.已知数列{an}满足a1=$\frac{1}{2}$,an=$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}+2}$(n≥2,n∈N)
(1)求数列{an}的通项公式an
(2)设bn=$\frac{{a}_{n}}{1+2{a}_{n}}$,数列}{bn}的前n项和记为Tn,求证:对任意的n∈N*,Tn<$\frac{7}{12}$.

分析 (1)首先可判断an>0恒成立,从而化简$\frac{1}{{a}_{n}}$+1=2(1+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$),从而求得an=$\frac{1}{3•{2}^{n-1}-1}$;
(2)化简bn=$\frac{{a}_{n}}{1+2{a}_{n}}$=$\frac{1}{3•{2}^{n-1}+1}$,从而写出Tn=$\frac{1}{3+1}$+$\frac{1}{3•2+1}$+…+$\frac{1}{3•{2}^{n-1}+1}$<$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3•2}$+$\frac{1}{3•{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{3•{2}^{n-1}}$,从而证明.

解答 (1)解:∵a1=$\frac{1}{2}$,an=$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}+2}$,
∴an>0恒成立;
$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n-1}+2}{{a}_{n-1}}$=1+$\frac{2}{{a}_{n-1}}$,
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$+1=2(1+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$),
且1+$\frac{1}{{a}_{1}}$=3,
故{$\frac{1}{{a}_{n}}$+1}是以3为首项,2为公比的等比数列,
即$\frac{1}{{a}_{n}}$+1=3•2n-1
故an=$\frac{1}{3•{2}^{n-1}-1}$;
(2)证明:∵bn=$\frac{{a}_{n}}{1+2{a}_{n}}$=$\frac{1}{3•{2}^{n-1}+1}$,
∴Tn=$\frac{1}{3+1}$+$\frac{1}{3•2+1}$+…+$\frac{1}{3•{2}^{n-1}+1}$
<$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3•2}$+$\frac{1}{3•{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{3•{2}^{n-1}}$
=$\frac{1}{4}$+$\frac{\frac{1}{6}(1-(\frac{1}{2})^{n-1})}{1-\frac{1}{2}}$<$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3}$=$\frac{7}{12}$.

点评 本题考查了通过构造新数列求数列通项公式的方法应用及放缩法证明不等式的应用,属于中档题.

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