Question

15．在等差数列{a_n}中，S_n为数列{a_n}的前n项和，满足a₅=-1，S₈=-12
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求前n项和S_n，并指出当n为何值时，S_n取最小值；
（3）若T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|，求T_n．

Answer 1

分析 （1）通过联立a₅=-1、S₈=-12，计算即可；
（2）通过公式求和，结合二次函数的最值，计算即可；
（3）通过令a_n=n-6≥0得n≥6，分n≤5与n≥6两种情况计算即可．

解答 解：（1）∵${a_5}={a_1}+4d=-1，{S_8}=8{a_1}+\frac{8×7}{2}d=-12$，
∴a₁=-5，d=1，
∴a_n=n-6；
（2）∵a₁=-5，a_n=n-6，
∴${S_n}=\frac{{n（{-5+n-6}）}}{2}=\frac{1}{2}{n^2}-\frac{11}{2}n$，
而$\frac{1}{2}$n²-$\frac{11}{2}$n=$\frac{1}{2}$（n-$\frac{11}{2}$）²-$\frac{1}{2}•$$\frac{121}{4}$，
∵S₅=$\frac{1}{2}•25-\frac{11}{2}•5$=-15，
S₆=$\frac{1}{2}•36-\frac{11}{2}•6$=-15，
∴当n为5或6时，S_n取最小值；
（3）令a_n=n-6≥0，则n≥6，
$当n≤5时，{T_n}=-{a_1}-{a_2}-…-{a_n}=-{S_n}=-\frac{1}{2}{n^2}+\frac{11}{2}n$，
当n≥6时，T_n=-a₁-a₂-a₃-a₄-a₅+a₆+a₇+…+a_n=$-2{S_5}+{S_n}=\frac{1}{2}{n^2}-\frac{11}{2}n+30$，
综上，${T_n}=\left\{\begin{array}{l}-\frac{1}{2}{n^2}+\frac{11}{2}n\;\;（{n≤5}）\\ \frac{1}{2}{n^2}-\frac{11}{2}n+30\;\;（{n≥6}）\end{array}\right.$．

点评 本题考查求数列的通项、求和及和的最值，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．