Question

【题目】心理学家研究某位学生的学习情况发现：若这位学生刚学完的知识存留量记为1，则x天后的存留量；若在t（t＞4）天时进行第一次复习，则此时知识存留量比未复习情况下增加一倍（复习时间忽略不计），其后存留量y2随时间变化的曲线恰为直线的一部分，其斜率为（a＜0），存留量随时间变化的曲线如图所示．当进行第一次复习后的存留量与不复习的存留量相差最大时，则称此时刻为“二次复习最佳时机点”．

（1）若a＝－1，t＝5求“二次复习最佳时机点”；

（2）若出现了“二次复习最佳时机点”，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）第14天．（2）－4＜a＜0．

【解析】

试题（1）首先列出第一次复习后的存留量，y2＝（x－t）＋（t＞4），从而得到第一次复习后的存留量与不复习的存留量之差为y＝y2－y1＝（x－t）＋－（t＞4）．当a＝－1，t＝5时，

y＝（x－5）＋－＝－＋1≤－2＋1＝，当且仅当x＝14时取等号，

（2）出现“二次复习最佳时机点”，就是t＞4有解，根据y＝（x－t）＋－

＝－＋－－≤－2＋，当且仅当－＝，

即x＝（t＋4）－4时取等号，由题意（t＋4）－4＞t，所以－4＜a＜0．

试题解析：解：设第一次复习后的存留量与不复习的存留量之差为y，

由题意知，y2＝（x－t）＋（t＞4），

所以y＝y2－y1＝（x－t）＋－（t＞4）．

（1）当a＝－1，t＝5时，

y＝（x－5）＋－＝－＋1≤－2＋1＝，

当且仅当x＝14时取等号，

所以“二次复习最佳时机点”为第14天．

（2）y＝（x－t）＋－＝－＋－－

≤－2＋，

当且仅当－＝，即x＝（t＋4）－4时取等号，

由题意（t＋4）－4＞t，所以－4＜a＜0．