Question

5．如图，三棱锥A-BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M是AD的中点，则异面直线CM，AB所成的角是$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 取BD中点N，连结MN，CN，则∠CMN是异面直线CM，AB所成的角，由此利用余弦定理能求出异面直线CM，AB所成的角．

解答 解：取BD中点N，连结MN，CN，
∵三棱锥A-BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M是AD的中点，
∴MN∥AB，且MN=$\frac{1}{2}AB$=$\frac{3}{2}$，
∴∠CMN是异面直线CM，AB所成的角，
CM=$\sqrt{C{D}^{2}-M{B}^{2}}$=$\sqrt{9-1}$=2$\sqrt{2}$，
cos∠BCD=$\frac{B{D}^{2}+C{D}^{2}-B{C}^{2}}{2BD•CD}$=$\frac{9+9-4}{2×3×3}$=$\frac{7}{9}$，
∴CN²=DN²+CD²-2×DN×CD×cos∠BDC=$\frac{9}{4}+9-2×\frac{3}{2}×3×\frac{7}{9}$=$\frac{17}{4}$，
∴cos∠CMN=$\frac{M{N}^{2}+C{M}^{2}-C{N}^{2}}{2•MN•CM}$=$\frac{\frac{9}{4}+8-\frac{17}{4}}{2×\frac{3}{2}×2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$∠CMN=\frac{π}{4}$．
∴异面直线CM，AB所成的角是$\frac{π}{4}$．
故答案为：$\frac{π}{4}$．

点评 本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意余弦定理的合理运用．