题目内容

7.若不等式x+2$\sqrt{xy}$≤a(x+y)对任意的实数x,y∈(0,+∞)恒成立,求实数a的取值范围.

分析 不等式x+2$\sqrt{xy}$≤a(x+y)分离参数,再利用换元法,构造函数,利用导数法确定函数的最大值,从而可求实数a的范围.

解答 解:不等式x+2$\sqrt{xy}$≤a(x+y)对任意的实数x,y∈(0,+∞)恒成立,
即为a≥$\frac{x+2\sqrt{xy}}{x+y}$,
∴a≥$\frac{1+2\sqrt{\frac{y}{x}}}{1+\frac{y}{x}}$,
令t=$\sqrt{\frac{y}{x}}$,(t>0),则$\frac{y}{x}$=t2
∴a≥$\frac{1+2t}{1+{t}^{2}}$,
令u=$\frac{1+2t}{1+{t}^{2}}$,
∴u′=$\frac{2(1-t-{t}^{2})}{(1+{t}^{2})^{2}}$,
令u′=0,∴t=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$(负值舍去),
∴函数在(0,$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$)上单调增,在($\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,+∞)上单调减,
∴t=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$时,函数u=$\frac{1+2t}{1+{t}^{2}}$取得最大值为$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$,
∴a≥$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$.

点评 本题考查恒成立问题,涉及到两个变量,一般都是把它变成一个变量去考虑的,属于中档题.

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