Question

8．已知f（x）=$\frac{3}{2}$-$\frac{3}{{3}^{x}+1}$，则满足f（$\frac{3}{2}$x）＜f（2）的x的取值范围是（-∞，$\frac{4}{3}$）．

Answer 1

分析 由函数单调性的定义证明f（x）=$\frac{3}{2}$-$\frac{3}{{3}^{x}+1}$为实数集上的增函数，则f（$\frac{3}{2}$x）＜f（2）化为$\frac{3}{2}x＜2$，求解一次不等式得答案．

解答 解：设x₁，x₂为实数集上的任意两个数，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=$\frac{3}{2}-\frac{3}{{3}^{{x}_{1}}+1}-\frac{3}{2}+\frac{3}{{3}^{{x}_{2}}+1}$=$\frac{3}{{3}^{{x}_{2}}+1}-\frac{3}{{3}^{{x}_{1}}+1}$=$\frac{3（{3}^{{x}_{1}}-{3}^{{x}_{2}}）}{（{3}^{{x}_{1}}+1）（{3}^{{x}_{2}}+1）}$，
∵x₁＜x₂，∴f（x₁）-f（x₂）=$\frac{3（{3}^{{x}_{1}}-{3}^{{x}_{2}}）}{（{3}^{{x}_{1}}+1）（{3}^{{x}_{2}}+1）}$＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），∴f（x）=$\frac{3}{2}$-$\frac{3}{{3}^{x}+1}$为实数集上的增函数，
由足f（$\frac{3}{2}$x）＜f（2），得$\frac{3}{2}x＜2$，解得x$＜\frac{4}{3}$．
∴满足f（$\frac{3}{2}$x）＜f（2）的x的取值范围是（-∞，$\frac{4}{3}$）．
故答案为：（-∞，$\frac{4}{3}$）．

点评 本题考查函数单调性的性质，考查了利用函数单调性求解不等式，是基础题．