Question

8．求证：|$\overrightarrow{AB}$|$\overrightarrow{PC}$+|$\overrightarrow{BC}$|$\overrightarrow{PA}$+|$\overrightarrow{CA}$|$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{0}$?P为△ABC的内心．

Answer 1

分析 把所给的向量等式进行变形，从而整理出与角C的角平分线平行的向量，同理证其他两个即可．

解答 证明：$\overrightarrow{0}$=|$\overrightarrow{AB}$|$\overrightarrow{PC}$+|$\overrightarrow{BC}$|$\overrightarrow{PA}$+|$\overrightarrow{CA}$|$\overrightarrow{PB}$=|$\overrightarrow{AB}$|$\overrightarrow{PC}$+|$\overrightarrow{BC}$|（$\overrightarrow{PC}$+$\overrightarrow{CA}$）+|$\overrightarrow{CA}$|（$\overrightarrow{PC}$+$\overrightarrow{CB}$）
=（|$\overrightarrow{AB}$|+|$\overrightarrow{BC}$|+|$\overrightarrow{CA}$|）×$\overrightarrow{PC}$+|$\overrightarrow{BC}$|$\overrightarrow{CA}$+|$\overrightarrow{CA}$|$\overrightarrow{CB}$
因为||$\overrightarrow{BC}$|$\overrightarrow{CA}$|=||$\overrightarrow{CA}$|$\overrightarrow{CB}$|，
所以：|$\overrightarrow{BC}$|$\overrightarrow{CA}$+|$\overrightarrow{CA}$|$\overrightarrow{CB}$必与角C的角平分线平行，
所以P必然落在角C的角平分线上．
同理，P必然落在角A，B的角平分线上．
所以P是三角形ABC的内心．

点评 本题主要考查向量等式进行变形，向量的模，向量的线性表示，共线平行，三角形的内心等．重点考查向量等式进行变形能力．