Question

18．解关于x的不等式：ax²-2x+1＞0（a∈R）

Answer 1

分析 讨论a=0与a≠0时，不等式对应的解集是什么，再根据一元二次不等式的解法步骤进行解答即可．

解答 解：当a=0时，不等式化为-2x+1＞0，解得x＜$\frac{1}{2}$；
当a≠0时，△=4-4a=0，解得a=1．
不等式化为（x-1）²＞0，∴不等式的解集为{x|x≠1}；
当a＞1时，△＜0，不等式的解集为R．
当0＜a＜1时，△＞0，由ax²-x+1=0解得x=$\frac{1±\sqrt{1-a}}{a}$，
∴不等式的解集为{x|x＜$\frac{1-\sqrt{1-a}}{a}$，或x＞$\frac{1+\sqrt{1-a}}{a}$}．
当a＜0时，△＞0，不等式的解集为{x|$\frac{1+\sqrt{1-a}}{a}$＜x＜$\frac{1-\sqrt{1-a}}{a}$}．
综上：当a=0时，不等式的解集为{x|x＜$\frac{1}{2}$}；
a=1时，不等式的解集为{x|x≠1}；
当a＞1时，不等式的解集为R．
当0＜a＜1时，不等式的解集为{x|x＜$\frac{1-\sqrt{1-a}}{a}$，或x＞$\frac{1+\sqrt{1-a}}{a}$}．
当a＜0时，不等式的解集为{x|$\frac{1+\sqrt{1-a}}{a}$＜x＜$\frac{1-\sqrt{1-a}}{a}$}．

点评 本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，是综合题目．