题目内容
【题目】已知函数,其中
为自然对数的底数.
(1)讨论的单调性;
(2)当时,
恒成立,求
的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)求出函数的导数,通过讨论的范围,求出函数的单调区间即可;(2)令
只需在
使
即可,通过讨论
的范围,求出函数的单调区间,求出函数的最值,从而确定
的范围即可.
解:(1)由题意可知,
,
当时,
,此时
在
上单调递增;
当时,令
,解得
,
当时,
,
单调递减;
当时,
,
单调递增;
当时,令
,解得
,
当时,
,
单调递减;
当时,
,
单调递增;
综上,当时,
在
上单调递增;
当时,
时,
单调递减,
时单调递增;
当时,
时,
单调递减,
时单调递增.
(2)由,
可得,,
令,
只需在使
即可,
,
①当时,
,当
时,
,当
时,
,
所以在
上是减函数,在
上是增函数,
只需,
解得,所以
;
②当时,
在
上是增函数,
在上是减函数,在
上是增函数,
则,解得
,
③当时,
,
在
上是增函数,
而成立,
④当时,
在
上是增函数,
在上是减函数,在
上是增函数,
则,解得
.
综上,的取值范围为
.
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