题目内容
【题目】在如图所示的几何体中，底面
是矩形，平面
平面，平面
平面
，
是边长为4的等边三角形，
.
（1）求证：
；
（2）求二面角
的余弦值
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
(1)先证明
平面
，又
，从而证明
平面.即可得证.
(2)以
的中点为
为原点建立空间之间坐标系，标出点的坐标，求出平面
的法向量为
，平面
的法向量
代入公式即可求解.
（1）由底面
为矩形可得
，又平面
平面，平面
平面
，
平面，所以平面
因为
平面MCD，
平面MCD，所以
平面MCD，
而平面
平面
，所以，所以平面.
又
平面，所以
.
（2）如图，设的中点为，过作
交
于
.易知
两两垂直，以为原点，分别以为
，轴建立空间直角坐标系
则
，
，
所以
，
，
设平面的法向量为
.
由
可得
可令
，可得
设平面的法向量
由
可得
令
，可得
则
易知二面角
为锐角，所以二面角的余弦值为
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【题目】截至2019年，由新华社《瞭望东方周刊》与瞭望智库共同主办的"中国最具幸福感城市"调查推选活动已连续成功举办12年，累计推选出60余座幸福城市，全国约9亿多人次参与调查，使"城市幸福感"概念深入人心.为了便于对某城市的"城市幸福感"指数进行研究，现从该市抽取若干人进行调查，绘制成如下不完整的2×2列联表(数据单位:人).
男 | 女 | 总计 | |
非常幸福 | 11 | 15 | |
比较幸福 | 9 | ||
总计 | 30 |
（1）将列联表补充完整，并据此判断是否有90%的把握认为城市幸福感指数与性别有关；
（2）若感觉"非常幸福"记2分，"比较幸福"记1分，从上表男性中随机抽取3人，记3人得分之和为
，求的分布列，并根据分布列求
的概率
附:
，其中
.
| 0. 10 | 0. 05 | 0. 010 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 6. 635 | 10. 828 |
