题目内容
【题目】如图，斜三棱柱
中，
，
，
，D是
的中点.
（1）证明：平面
平面
；
（2）求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
.
【解析】
1
取AB的中点M，连接CM，
，由已知求解三角形可得
，
，由直线与平面垂直的判定可得
平面ABC，从而得到平面
平面ABC；
2设
与BD交于点O，E为BC的中点，则
结合1可证得
平面
，得到平面
平面
过O作
于N，则
即为所求角，再求解三角形可得直线DB与平面
所成角的正弦值．
（1）取
中点M，连结
，如图
因为
，故
，所以
，
又因为
，所以
，且
，
所以
，
所以
，所以
平面
，
而
平面
，
所以平面
平面．
（2）设与
相交于O，过O作
于N
E为
的中点，则
，所以
平面
，
所以平面
平面
，
因为，则
即为所求的角，
易知
为等腰直角三角形，且O为其重心，
故
，
，
又因为
与
相似，
所以
，
所以
．
【题目】2020年春节期间，全国人民都在抗击“新型冠状病毒肺炎”的斗争中.当时武汉多家医院的医用防护物资库存不足，某医院甚至面临断货危机，南昌某生产商现有一批库存的医用防护物资，得知消息后，立即决定无偿捐赠这批医用防护物资，需要用A、B两辆汽车把物资从南昌紧急运至武汉.已知从南昌到武汉有两条合适路线选择，且选择两条路线所用的时间互不影响.据调查统计2000辆汽车，通过这两条路线从南昌到武汉所用时间的频数分布表如下：
所用的时间（单位：小时） |
|
|
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路线1的频数 | 200 | 400 | 200 | 200 |
路线2的频数 | 100 | 400 | 400 | 100 |
假设汽车A只能在约定交货时间的前5小时出发，汽车B只能在约定交货时间的前6小时出发（将频率视为概率）.为最大可能在约定时间送达这批物资，来确定这两车的路线.
（1）汽车A和汽车B应如何选择各自的路线.
（2）若路线1、路线2的“一次性费用”分别为3.2万元、1.6万元，且每车医用物资生产成本为40万元（其他费用忽略不计），以上费用均由生产商承担，作为援助金额的一部分.根据这两辆车到达时间分别计分，具体规则如下（已知两辆车到达时间相互独立，互不影响）：
到达时间与约定时间的差x（单位：小时） |
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该车得分 | 0 | 1 | 2 |
生产商准备根据运输车得分情况给出现金排款，两车得分和为0，捐款40万元，两车得分和每增加1分，捐款增加20万元，若汽车A、B用（1）中所选的路线运输物资，记该生产商在此次援助活动中援助总额为Y（万元），求随机变量Y的期望值，（援助总额
一次性费用
生产成本现金捐款总额）
