Question

12．已知函数f（x）=x²-2x，若函数F（x）=|f（x）|+|f（a-x）|-t有四个零点，且它们的和为2，则实数t的取值范围是（1，$\frac{3}{2}$）．

Answer 1

分析 函数y=|f（x）|的图象与函数y=|f（a-x）|的图象关于直线x=$\frac{a}{2}$对称，故函数F（x）=|f（x）|+|f（a-x）|-t的图象关于直线x=$\frac{a}{2}$对称，进而可得a值，进而将函数g（x）=|f（x）|+|f（a-x）|的解析式化为分类函数的形式，并画出函数的图象，数形结合，可得答案．

解答 解：函数y=|f（x）|的图象与函数y=|f（a-x）|的图象关于直线x=$\frac{a}{2}$对称，
故函数F（x）=|f（x）|+|f（a-x）|-t的图象关于直线x=$\frac{a}{2}$对称，
若函数F（x）=|f（x）|+|f（a-x）|-t有四个零点，且它们的和为2，
则a=1，
令g（x）=|f（x）|+|f（a-x）|=|x²-2x|+|（1-x）²-2（1-x）|=|x²-2x|+|x²-1|=$\left\{\begin{array}{l}2{x}^{2}-2x-1，x＜-1\\-2x+1，-1≤x≤0\\-2{x}^{2}+2x+1，0＜x＜1\\ 2x-1，1≤x≤2\\ 2{x}^{2}-2x-1，x＞2\end{array}\right.$，
其图象如下图所示：

由图可得：实数t∈（1，$\frac{3}{2}$）时，g（x）=|f（x）|+|f（a-x）|与y=t有四个交点，
故函数F（x）=|f（x）|+|f（a-x）|-t有四个零点，
故答案为：（1，$\frac{3}{2}$）

点评 本题考查的知识点是函数零点的判定定理，函数图象，分段函数的应用，分类讨论思想，数形结合思想，难度中档．