题目内容
【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn , 且a1=2,an+1= Sn(n=1,2,3,…).
(1)证明:数列{ }是等比数列;
(2)设bn= ,求数列{bn}的前n项和Tn .
【答案】
(1)证明:因为,an+1=Sn+1﹣Sn= Sn,
所以 =2
,又a1=2,
故数列{ }是等比数列,首项为2,公比为2的等比数列.
(2)解:由(1)得: =2n,即Sn=n2n.
所以bn= =
=
=
﹣
,
故数列{bn}的前n项和Tn= +
+…+
=1﹣
=
.
【解析】(1)an+1=Sn+1﹣Sn= Sn,整理为
=2
.即可证明.(2)由(1)得:
=2n,即Sn=n2n.可得bn=
=
=
=
﹣
,利用裂项求和方法即可得出.
【考点精析】利用数列的前n项和和数列的通项公式对题目进行判断即可得到答案,需要熟知数列{an}的前n项和sn与通项a;如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式.
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