题目内容
【题目】已知函数.
(1)求在区间上的最大值和最小值;
(2)在曲线上是否存在点P,使得过点P可作三条直线与曲线相切?若存在,求出其横坐标的取值范围;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)当时,,;当时,,;当时,,;(2)存在,.
【解析】
(1)求出导数,确定函数的单调性,然后按分类讨论;
(2)假设存在符合条件的点,同时设切点为,由导数几何意义得即(*),问题转化为关于的方程(*)存在三个不同实根.然后用导数研究函数的零点.
(1)由题意得:
当时,;
当时,;
当时,.
即在单调递增,在单调递减,在单调递增
又的零点分别为,0,
所以当时,,;
当时,,;
当时,,.
(2)假设存在符合条件的点,切点设为
所以即(*)
故问题转化为关于的方程(*)存在三个不同实根.
令,则
当时,,在R上单调递增,不合题意;
当时,易知在单调递增,在单调递减,在单调递增
从而,即
解得:
当时,易知在单调递增,在单调递减,在单调递增
从而,即
解得:
综上,存在符合条件的点P,其横坐标的取值范围为.
【题目】端午节是中国传统节日之一节日期间,各大商场各种品牌的“粽子战”便悄然打响.某记者走访市场发现,各大商场粽子种类繁多,价格不一根据数据统计分析,得到了某商场不同种类的粽子销售价格(单位:元/千克)的频数分布表,如表一所示.
表一:
价格/(元/千克) | [10,15) | [15,20) | [20,25) | [25,30) | [30,35) |
种类数 | 4 | 12 | 16 | 6 | 2 |
在调查中,记者还发现,各大品牌在馅料方面还做足了功课,满足了市民多样化的需求除了蜜枣、豆沙等传统馅料粽,很多品牌还推出了鲜肉、巧克力、海鲜等特色馅料粽在该商场内,记者随机对100名顾客的年龄和粽子口味偏好进行了调查,结果如表二.
表二:
喜欢传统馅料粽 | 喜欢特色馅料粽 | 总计 | |
40岁以下 | 30 | 15 | 45 |
40岁及以上 | 50 | 5 | 55 |
总计 | 80 | 20 | 100 |
(1)根据表一估计该商场粽子的平均销售价(同一组中的数据用该组区间的中点值代表);
(2)根据表二信息能否有95%的把握认为顾客的粽子口味偏好与年龄有关?
参考公式和数据:(其中为样本容量)
P(K2≥k0) | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k0 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |