Question

【题目】在等比数列中， ，且的等比中项为.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，数列的前项和为，是否存在正整数，使得对任意恒成立？若存在，求出正整数的最小值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在满足条件的正整数，正整数的最小值为.

【解析】试题分析：根据等比数列的性质，第1项与第5项的等比中项是第3项，利用公差和第三项的值求出首项，从而写出数列的通项公式；根据题意计算，可知为等差数列，利用等差数列前n项和公式写出前n项和，从而得出，而数列求和可以使用裂项相消法，最后根据不等式恒成立条件得出正整数的最小值.

试题解析：

（1）由的等比中项为，可知，又，则， 公比且，

.

（2），易知数列是首项为，公差为的等差数列，

，

，

则存在满足条件的正整数，且正整数的最小值为.