Question

6．已知圆M过点C（1，-1），D（-1，1），且圆心M在x+y-2=0上．
（1）求圆M的方程；
（2）设P（x，y）是圆M上任意一点求x+y的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设出圆的标准方程，利用圆M过两点C（1，-1）、D（-1，1）且圆心M在直线x+y-2=0上，建立方程组，即可求圆M的方程；
（2）设x=1+2cosα，y=1+2sinα，则x+y=1+2cosα+1+2sinα=2+2$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$），即可求x+y的取值范围．

解答 解：（1）设圆M的方程为：（x-a）²+（y-b）²=r²（r＞0），
根据题意得$\left\{\begin{array}{l}{（1-a）^{2}+（-1-b）^{2}={r}^{2}}\\{（-1-a）^{2}+（1-b）^{2}={r}^{2}}\\{a+b-2=0}\end{array}\right.$，解得：a=b=1，r=2，
故所求圆M的方程为：（x-1）²+（y-1）²=4；
（2）设x=1+2cosα，y=1+2sinα，则x+y=1+2cosα+1+2sinα=2+2$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$）$∈[2-2\sqrt{2}，2+2\sqrt{2}]$．

点评 本题给出圆M满足的条件，求圆M的方程并求x+y的取值范围．着重考查了直线的基本量与基本形式、圆的标准方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．