题目内容
已知双曲线方程为,椭圆C以该双曲线的焦点为顶点,顶点为焦点。
(1)当,时,求椭圆C的方程;
(2)在(1)的条件下,直线:与轴交于点P,与椭圆交与A,B两点,若O为坐标原点,与面积之比为2:1,求直线的方程;
(3)若,椭圆C与直线:有公共点,求该椭圆的长轴长的最小值。
(1)当,时,求椭圆C的方程;
(2)在(1)的条件下,直线:与轴交于点P,与椭圆交与A,B两点,若O为坐标原点,与面积之比为2:1,求直线的方程;
(3)若,椭圆C与直线:有公共点,求该椭圆的长轴长的最小值。
解:(1)设双曲线的焦点为,则椭圆C的方程为
,其中
将代入,可得椭圆C的方程为
;
(2)根据题意,设点A,B的坐标分别为,则,可
知。
联立椭圆和直线的方程,得
,消元得,可知
,,即异号,所以。
代入上式,得
消元,得。
所以直线方程为
(3)联立椭圆和直线的方程,得方程组
,其中,
消去,得到方程
,
因为椭圆与直线有公共点,所以
△,
解得,所以,当且仅当时长轴长最短,是。
略
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