题目内容
【题目】已知函数.
(1)当时,证明函数
在
是单调函数;
(2)当时,函数
在区间
上的最小值是
,求
的值;
(3)设,
是函数
图象上任意不同的两点,记线段
的中点的横坐标是
,证明直线
的斜率
.
【答案】(1)证明见解析;(2) ;(3)证明见解析.
【解析】试题分析:
(1)首先求解导函数,由可得函数
在
是单增函数;
(2)利用函数的单调性结合题意得到关于实数a的方程,解方程可得.
(3)首先求得斜率的表达式,然后结合表达式设 ,构造新函数
,结合函数的特征即可证得结论.
试题解析:
(1)解:.
因为,
,所以
.∴函数
在
是单增函数;
(2)解:在上,分如下情况讨论:
1.当时,
,函数
单调递增,其最小值为
,这与函数在
上的最小值是
相矛盾;
2.当时,函数
在
单调递增,其最小值为
,同样与最小值是相矛盾;
3.当时,函数
在
上有
,单调递减,在
上有
,单调递增,
∴函数的最小值为
,得
.
(3)证明:当时,
,
.
又,不妨设
,
要比较与
的大小,即比较
与
的大小,又因为
,
所以即比较与
的大小.
令,则
∴
在
上是增函数.
又,∴
,
,即
.
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