Question

3．设函数f（x）=$\frac{x+2}{x+1}$，指出f（x）的单调区间，并证明f（x）在其单调区间上的单调性．

Answer 1

分析 分离常数，将原函数变成f（x）=1+$\frac{1}{x+1}$，根据反比例函数的单调性即知f（x）在（-∞，-1），（-1，+∞）上单调递减，用定义证明：在定义域内任意设x₁＜x₂，然后作差，通分即可判断x₁，x₂∈（-∞，-1），和x₁，x₂∈（-1，+∞）时的f（x₁）与f（x₂）的大小关系，从而证明出函数f（x）的单调性．

解答 解：f（x）=$\frac{x+2}{x+1}=1+\frac{1}{x+1}$；
∴f（x）在（-∞，-1），（-1，+∞）上单调递减，用定义证明如下：
设x₁＜x₂，则：f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1}{{x}_{1}+1}-\frac{1}{{x}_{2}+1}=\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}$；
∴x₁＜x₂＜-1，或-1＜x₁＜x₂时，x₂-x₁＞0，（x₁+1）（x₂+1）＞0；
∴$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}＞0$；
即f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在（-∞，-1），（-1，+∞）上单调递减．

点评 考查反比例函数的单调性，分离常数法的运用，减函数的定义，以及根据减函数的定义证明一个函数为减函数的方法和过程，作差的方法比较f（x₁）与f（x₂），作差后是分式的一般通分．