Question

20．已知抛物线C₁的顶点、椭圆C₂和双曲线C₃的中心都在坐标原点，并且它们都经过直线y=$\frac{1}{2}$x与直线y=x-1的交点，又在y轴上都有一个公共的焦点，求抛物线C₁、椭圆C₂和双曲线C₃的方程．

Answer 1

分析 求得两直线的交点，设出抛物线C₁的方程为x²=2py，代入交点坐标，可得p=2，得到焦点，再由椭圆和双曲线的定义，以及三个参数的关系，即可得到所求椭圆和双曲线的方程．

解答 解：由直线y=x-1和直线y=$\frac{1}{2}$x联立，
可得交点为（2，1），
由焦点在y轴上，可设抛物线C₁的方程为x²=2py，（p＞0），
代入（2，1），可得4=2p，解得p=2，
即有抛物线C₁方程为x²=4y；
可设椭圆C₂的方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
由抛物线的焦点（0，1），可得c=1，
即a²-b²=1，
由椭圆的定义可得2a=$\sqrt{（2-0）^{2}+（1-1）^{2}}$+$\sqrt{（2-0）^{2}+（1+1）^{2}}$
=2+2$\sqrt{2}$，
即为a=1+$\sqrt{2}$，b²=2+2$\sqrt{2}$，
则有椭圆方程为$\frac{{y}^{2}}{3+2\sqrt{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{2+2\sqrt{2}}$=1；
可设双曲线的方程为$\frac{{y}^{2}}{{m}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{n}^{2}}$=1，（m，n＞0）
由抛物线的焦点（0，1），可得m²+n²=1，
由双曲线的定义可得2m=$\sqrt{（2-0）^{2}+（1+1）^{2}}$-2
=2$\sqrt{2}$-2，
可得m=$\sqrt{2}$-1，n²=2$\sqrt{2}$-2，
即有双曲线的方程为$\frac{{y}^{2}}{3-2\sqrt{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{2\sqrt{2}-2}$=1．
综上可得，抛物线C₁方程为x²=4y；
椭圆方程为$\frac{{y}^{2}}{3+2\sqrt{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{2+2\sqrt{2}}$=1；
双曲线的方程为$\frac{{y}^{2}}{3-2\sqrt{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{2\sqrt{2}-2}$=1．

点评 本题考查椭圆、双曲线和抛物线的方程的求法，考查定义法的运用，以及运算求解能力，属于中档题．