Question

13．如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中（底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱叫正三棱柱），各棱长都是4，D是BC的中点．
（1）求证：A₁C∥平面AB₁D；
（2）求二面角D-AB₁-B的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接A₁B交AB₁于O，连接OD，通过中位线定理及线面平行的判定定理即得结论；
（Ⅱ）过D作DE⊥AB于E，过作EF⊥AB₁于F，连接DF．则∠DFE为二面角D-AB₁-B的平面角，在Rt△ADB₁中计算可得DF=$\frac{\sqrt{30}}{2}$，在Rt△DEF中计算sin∠DFE=$\frac{DE}{DF}$即可．

解答 （Ⅰ）证明：连接A₁B交AB₁于O，连接OD，
∵四边形ABB₁A₁为正方形，
∴O为A₁B的中点，
又∵D是BC中点，∴OD∥A₁C，
∵OD?平面AB₁D，A₁C?平面AB₁D，
∴A₁C∥平面AB₁D；
（Ⅱ）解：过D作DE⊥AB于E，过作EF⊥AB₁于F，连接DF．
∵平面ABC⊥平面ABB₁A₁，平面ABC∩平面ABB₁A₁=AB，
∴DE⊥平面ABB₁A₁，A₁B?平面ABB₁A₁，∴DE⊥AB₁，
又∵EF⊥AB₁，DE∩EF=E，
∴AB₁⊥平面DEF，DF?平面DEF，∴AB₁⊥DF，
∴∠DFE为二面角D-AB₁-B的平面角，
在Rt△ADB₁中，AD•B₁D=AB₁•DF，∴DF=$\frac{\sqrt{30}}{2}$，
在正三角形ABC中，DE=$\sqrt{3}$，
∴在Rt△DEF中，sin∠DFE=$\frac{DE}{DF}$=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{30}}{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
∴二面角D-AB₁-B的正弦值为$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查空间中线面平行的判定，以及求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题．