Question

1．直线l：bx+ay=ab（a＞0，b＞0）与x轴，y轴的交点分别是A，B，O为坐标原点，△OAB的面积是$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，直线l的倾斜角是150°，A，B两点是中点在坐标原点的椭圆C的两个顶点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l：y=x+m与椭圆C交于M，N两点，求△OMN的最大值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}ab=\frac{2\sqrt{3}}{3}}\\{-\frac{b}{a}=tan15{0}^{°}=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，解出即可得出；
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），把直线方程与椭圆方程联立可得根与系数的关系、弦长关系、点到直线的距离公式公式可得三角形OMN的面积，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}ab=\frac{2\sqrt{3}}{3}}\\{-\frac{b}{a}=tan15{0}^{°}=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=4}\\{{b}^{2}=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{3{y}^{2}}{4}=1$．
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{3{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，化为4x²+6mx+3m²-4=0，
∴x₁+x₂=$-\frac{3m}{2}$，x₁x₂=$\frac{3{m}^{2}-4}{4}$．
∴|MN|=$\sqrt{2[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{2[\frac{9{m}^{2}}{4}-4×\frac{3{m}^{2}-4}{4}]}$=$\sqrt{32-\frac{3}{2}{m}^{2}}$．
原点O到直线l的距离d=$\frac{|m|}{\sqrt{2}}$．
∴S_△OMN=$\frac{1}{2}×\frac{|m|}{\sqrt{2}}$×$\sqrt{32-\frac{3{m}^{2}}{2}}$=$\frac{1}{2}\sqrt{{m}^{2}（16-\frac{3}{4}{m}^{2}）}$$≤\frac{1}{2}$$\sqrt{\frac{4}{3}（\frac{\frac{3}{4}{m}^{2}+16-\frac{3}{4}{m}^{2}}{2}）^{2}}$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，当且仅当${m}^{2}=\frac{32}{3}$时取等号．
∴△OMN的最大值为$\frac{8\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长关系、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．