题目内容
【题目】已知函数,
,
,令
.
(1)当时,求函数
的单调区间及极值;
(2)若关于的不等式
恒成立,求整数
的最小值.
【答案】(1)答案见解析;(2)2.
【解析】
(1)由题意可得.利用导函数研究函数的性质可得
的单调递增区间为
,单调递减区间为
.
,无极小值.
(2)法一:令,则
.由导函数研究函数的最值可得
的最大值为
.据此计算可得整数
的最小值为2.
法二:原问题等价于恒成立,令
,则
,由导函数研究函数的性质可得整数
的最小值为2.
(1),
所以.
令得
;
由得
,所以
的单调递增区间为
.
由得
,所以
的单调递减区间为
.
所以函数,无极小值.
(2)法一:令
.
所以
.
当时,因为
,所以
所以
在
上是递增函数,
又因为.
所以关于的不等式
不能恒成立.
当时,
.令
得
,
所以当时,
;
当时,
,
因此函数在
是增函数,在
是减函数.
故函数的最大值为
.
令,因为
,
,
又因为在
上是减函数,所以当
时,
.
所以整数的最小值为2.
法二:由恒成立知
恒成立,
令,则
,
令,因为
,
,则
为增函数.
故存在,使
,即
,
当时,
,
为增函数,
当时,
,
为减函数.
所以,
而,所以
,
所以整数的最小值为2.
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